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  • 已知函数f(x)=-x+log21-x1+x，定义域为（-1，1）（1）求f(12008)+f(-12008)的值．（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并给出证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=-x+log2
      1-x
      1+x
      ，定义域为（-1，1）
      （1）求f(
      1
      2008
      )+f(-
      1
      2008
      )的值．
      （2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并给出证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f(x)=-x+log2
      1-x
      1+x
      ，定义域为（-1，1）；
      ∴任取x∈（-1，1），有f（-x）=x+log      2
      1+x
      1-x
      =-（-x+log2
      1-x
      1+x
      ）=-f（x），∴f（x）是定义域上的奇函数；
      ∴f(
      1
      2008
      )+f(-
      1
      2008
      )=f（
      1
      2008
      ）-f（
      1
      2008
      ）=0；
      （2）f（x）是定义域上（-1，1）的减函数，证明如下：
      ∵f（x）是定义域上（-1，1）的奇函数，
      ∴任取x      1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，则
      f（x      1）-f（x2）=（-x1+log2
      1-x1
      1+x1
      ）-（-x2+log2
      1-x2
      1+x2
      ）=（x2-x1）+log2（
      1-x1
      1+x1
      ?
      1+x2
      1-x2
      ）=（x2-x1）+log2
      (1-x1x2)+(x2-x1)
      (1-x1x2)+(x1-x2)
      ；
      ∵-1＜x      1＜x2＜1，∴x2-x1＞0，
      (1-x1x2)+(x2-x1)
      (1-x1x2)+(x1-x2)
      ＞1，即log2
      (1-x1x2)+(x2-x1)
      (1-x1x2)+(x1-x2)
      ＞0；
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；
      所以，f（x）是定义域上（-1，1）的减函数．
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