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  • 关于函数f（x）=|x||x|-1给出下列四个命题：①当x＞0时，y=f（x）单调递减且没有最值；②方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；③如果方程f（x）=k有解，则解的个数一定是偶数；④y=f（x）是偶函数且有最小值．则其中真命题是 ．（只要写标题号）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      关于函数f（x）=
      |x|
      |x|-1
      给出下列四个命题：
      ①当x＞0时，y=f（x）单调递减且没有最值；
      ②方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；
      ③如果方程f（x）=k有解，则解的个数一定是偶数；
      ④y=f（x）是偶函数且有最小值．则其中真命题是                ．（只要写标题号）

      试题解答

      ②
      解：①当x＞0时，y=f（x）=
      x
      x-1
      =1+
      1
      x-1
      在区间（0，1）和（1，+∞）上分别是单调递减的函数，且无最值；
      ∴命题①错误；
      ②函数f（x）=
      |x|
      |x|-1
      是偶函数，当x＞0时，y=f（x）=
      x
      x-1
      =1+
      1
      x-1
      在区间（0，1）和（1，+∞）上分别是单调递减的函数；
      当k＞0时，函数y=f（x）与y=kx在第一象限内一定有交点；
      由对称性知，当x＜0且k＞0时，函数y=f（x）与y=kx在第二象限内一定有交点；
      ∴方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；
      ∴命题②正确；
      ③∵函数f（x）=
      |x|
      |x|-1
      是偶函数，且f（x）=0当k=0时，函数y=f（x）与y=k的图象只有一个交点，∴方程f（x）=k的解的个数是奇数；∴命题③错误；
      ④∵函数f（x）=
      |x|
      |x|-1
      是偶函数，当x＞0时，y=f（x）=
      x
      x-1
      =1+
      1
      x-1
      在区间（0，1）和（1，+∞）上分别是单调递减的函数；
      由对称性知，当x＜0时，y=f（x）=
      -x
      -x-1
      =1-
      1
      x+1
      在区间（-∞，-1）和（-1，0）上分别是单调递增的函数；函数无最小值；
      ∴命题④错误．
      故答案为：②．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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