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  • 函数f(x)=lnx-a(x-1)x(x＞0，a∈R)．（1）试求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；（3）求证：不等式1lnx-1x-1＜12对于x∈（1，2）恒成立．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f(x)=lnx-
      a(x-1)
      x
      (x＞0，a∈R)．
      （1）试求f（x）的单调区间；
      （2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；
      （3）求证：不等式
      1
      lnx
      -
      1
      x-1
      ＜
      1
      2
      对于x∈（1，2）恒成立．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数的定义域是（0，+∞），导数f′（x）=
      1
      x
      -
      a
      x2
      ，
      若a≤0，导数f′（x）在（0，+∞）上大于0，函数的单调增区间是（0，+∞）；
      若a＞0，在（a，+∞）上，导数大于0，函数的单调增区间是（a，+∞），
      在（a，+∞）上，导数小于0，单调减区间是（0，a）
      （2）由第一问知道，当a＞0时候，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，
      所以要使得函数f（x）的图象存在唯一零点，当且仅当f（a）=0，即a=1
      （3）要证
      1
      lnx
      -
      1
      x-1
      ＜
      1
      2
      ，即证
      1
      lnx
      ＜
      1
      x-1
      +
      1
      2
      ，即证lnx＞
      2x-2
      x+1

      设g(x)=lnx-
      2x-2
      x+1
      ，∴g′(x)=
      1
      x
      -
      4
      (x+1)2
      ＞0，x∈(1，2)恒成立
      ∴g（x）      min＞g（1）=0，∴g（x）＞0，即
      1
      lnx
      -
      1
      x-1
      ＜
      1
      2
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      必修1人教A版单选题高中数学

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