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  • 已知函数f（x）=ax2-|x|+2a-1（a为实常数）．（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax2-|x|+2a-1（a为实常数）．
      （1）若a=1，求f（x）的单调区间；
      （2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

      试题解答

      见解析
      解：（1）a=1时，f(x)=x2-|x|+1=
      {
      x2-x+1，x≥0
      x2+x+1，x＜0
      =
      {
      (x-
      1
      2
      )2+
      3
      4
      ，x≥0
      (x+
      1
      2
      )2+
      3
      4
      ，x＜0
      （2分）
      ∴f（x）的单调增区间为（
      1
      2
      ，+∞），（-
      1
      2
      ，0）f（x）的单调减区间为（-∞，-
      1
      2
      ），（0，
      1
      2
      ）
      （2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，f(x)=ax      2-x+2a-1=a(x-
      1
      2a
      )2+2a-
      1
      4a
      -1
      100＜
      1
      2a
      ＜1即a＞
      1
      2
      f（x）在[1，2]为增函数g（a）=f（1）=3a-2
      201≤
      1
      2a
      ≤2即
      1
      4
      ≤a≤
      1
      2
      时，g(a)=f(
      1
      2a
      )=2a-
      1
      4a
      -1
      30
      1
      2a
      ＞2即0＜a＜
      1
      4
      时f（x）在[1，2]上是减函数g（a）=f（2）=6a-3
      综上可得g(a)=
      {
      6a-3，0＜a＜
      1
      4
      2a-
      1
      4a
      -1
      1
      4
      ≤a≤
      1
      2
      3a-2，a＞
      1
      2
      （10分）
      所以实数a的取值范围是[-
      1
      2
      ，1]
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      必修1人教A版单选题高中数学

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