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  • 设a＞0，f（x）=x2+a|lnx-1|．（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；（2）当x∈[1，+∞）时，求f（x）的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设a＞0，f（x）=x2+a|lnx-1|．
      （1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
      （2）当x∈[1，+∞）时，求f（x）的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当a=2时，f(x)=
      {
      x2+2lnx-2，x≥e
      x2-2lnx+2，0＜x＜e

      当x＞e时，      f′(x)=2x+
      2
      x
      =
      2x2+2
      x
      ＞0恒成立，
      当0＜x＜e时，      f′(x)=2x-
      2
      x
      =
      2x2-2
      x
      ，
      令f′（x）＞0得1＜x＜e
      又      limx→e-f(x)=limx→e+f(x)=f(e)=e2，
      故f（x）在x=e处连续，
      所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
      （2）当x＞e时，      f′(x)=2x+
      a
      x
      ＞0，故f（x）在（e，+∞）单增
      当0＜x＜e时，      f′(x)=2x-
      a
      x
      =
      2x2-a
      x
      ，
      令      f′(x)=
      2x2-a
      x
      ＞0?x＞
      √
      a
      2

      则f（x）在(
      √
      a
      2
      ，+∞)单增，
      f（x）在(0，
      √
      a
      2
      )单减．
      又f（x）在x=e处连续．
      故，当
      √
      a
      2
      ≥e?a≥2e2时，
      f      min（x）=f（e）=e2
      当1＜
      √
      a
      2
      ＜e?2＜a＜2e2时，
      fmin(x)=f(
      √
      a
      2
      )=
      3a
      2
      -
      a
      2
      ln
      a
      2

      当
      √
      a
      2
      ≤1?0＜a≤2时，
      f      min（x）=f（1）=1+a
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