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  • 如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．（1）求函数f（t）的解析式；（2）画出y=f（t）的函数图象，并求y=f（t）的值域．（注：画图时标明关键点的坐标．）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．
      （1）求函数f（t）的解析式；
      （2）画出y=f（t）的函数图象，并求y=f（t）的值域．
      （注：画图时标明关键点的坐标．）

      试题解答

      见解析
      解：（1）①当0＜t≤1时，
      如图，设直线x=t与△OAB分别交于C、D两点，则|OC|=t，
      又
      |CD|
      |OC|
      =
      √3
      ，∴|CD|=
      √3
      t，∴f（t）=
      1
      2
      |OC|?|CD|=
      1
      2
      t?
      √3
      t=
      √3
      2
      t2．
      ②当1＜t≤2时，
      如图，设直线x=t与△OAB分别交于M、N两点，则|AN|=2-t，
      |MN|
      |AN|
      =
      √3
      ，∴|MN|=
      √3
      （2-t），
      ∴f（t）=
      1
      2
      ?2?
      √3
      -
      1
      2
      ?|AN|?|MN|=
      √3
      -
      √3
      2
      （2-t）2=-
      √3
      2
      t2+2
      √3
      t-
      √3
      ；
      ③当t＞2时，f（t）=
      √3
      ．
      综上所述f（t）=
      {
      √3
      2
      t2，0＜t≤1
      -
      √3
      2
      t2+2
      √3
      t-
      √3
      ，1＜t≤2
      √3
      ，t＞2
      ．
      （2）f（t）=
      {
      √3
      2
      t2，0＜t≤1
      -
      √3
      2
      (t-2)2+
      √3
      ，1＜t≤2
      √3
      ，t＞2
      ．图象如图所示：
      当0＜t≤1时，0＜f（t）≤
      √3
      2
      ；当1＜t≤2时，
      √3
      2
      ＜f（t）≤
      √3
      ；当t＞2时，f（t）=
      √3
      ．所以f（t）的值域为（0，
      √3
      ]．
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