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四边形ABCD中,∠BAD=90°,DC⊥AC,AC交BD于点O,AO=AB,过B作BN∥CD交AC于E,交AD于N,下列结论:①∠NBD=∠ADC;②CD+BE=AD;③若AO=2CO,则BE=CD;④S△ABD=S△ADC,其中正确的个数是 ?试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
四边形ABCD中,∠BAD=90°,DC⊥AC,AC交BD于点O,AO=AB,过B作BN∥CD交AC于E,交AD于N,下列结论:
①∠NBD=
∠ADC;②CD+BE=AD;③若AO=2CO,则BE=CD;④S
△ABD
=S
△ADC
,
其中正确的个数是
?
试题解答
C
(1)由CD⊥AC,BN∥DC可得BN⊥AC,∠4=∠2+∠3,∠2=∠5,再利用等角的余角相等得∠EAN=∠1,由AB=AO得∠1+∠5=∠AOB,根据三角形外角性质得∠AOB=∠3+∠OAD,代换后有∠3=∠5,于是∠2+∠3=2∠5,所以∠NBD=
∠ADC;
过N点作NH⊥DC,则四边形ENHC为矩形,根据矩形的性质得CH=EN,HN=CE,由∠3=∠5得到ND=NB,根据“AAS”可判断△NDH≌???BNA,则NH=AB,DH=AE,而AD=DN+AN,
然后根据等相等的代换可得到AD=BE+DC;
由NH=AB,CE=NH得CE=AB,而AB=OA.则CE=AO,利用AO=2CO得CE=OC+OE=2OC,即OC=OE,然后根据“ASA”可判断△OCD≌△OEB,于是CD=BE;
由于BC与AD不平行,则C点到AD的距离与AB不相等,然后根据三角形面积公式可得到S
△ABD
≠S
△ADC
.
解∵CD⊥AC,BN∥DC,
∴BN⊥AC,∠4=∠2+∠3,∠2=∠5,
∵∠BAD=90°,
∴∠EAN=∠1,
∵AB=AO,
∴∠1+∠5=∠AOB,
而∠AOB=∠3+∠OAD,
∴∠1+∠5=∠3+∠OAD,
∴∠3=∠5,
∴∠2+∠3=2∠5,
∴∠NBD=
∠ADC,所以①正确;
过N点作NH⊥DC,则四边形ENHC为矩形,
∴CH=EN,HN=CE,
∵∠3=∠5,
∴ND=NB,
在△NDH和△BNA中
,
∴△NDH≌△BNA(AAS),
∴NH=AB,DH=AE,
∵AD=DN+AN,
∴AD=NB+DH=BE+NE+DH=BE+HC+DH=BE+DC,所以②正确;
由NH=AB,CE=NH得CE=AB,
而AB=OA,
∴CE=AO,
当AO=2CO,则CE=OC+OE=2OC,
∴OC=OE,
在△OCD和△OEB中
,
∴△OCD≌△OEB(ASA),
∴CD=BE,所以③正确;
∵BC与AD不平行,
∴C点到AD的距离与AB不相等,
∴S
△ABD
≠S
△ADC
,所以④错误.
故选C.
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矩形的判定与性质
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