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如图,已知:四边形AEBD中,对角线AB和DE相交于点C,且AB垂直平分DE,AC=a,BC=b,CD=√ab(其中a≥b>0).(1)用尺规作图法作出以AB为直径的⊙O;(保留作图痕迹)(2)求证:△ACD∽△DCB;(3)判断点D与⊙O的位置关系,并说明理由;(4)试估计代数式a+b和2√ab的大小关系,并结合圆的有关知识,利用图形中线段的数量关系说明你的结论的正确性.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
如图,已知:四边形AEBD中,对角线AB和DE相交于点C,且AB垂直平分DE,AC=a,BC=b,CD
=
√
ab
(其中a≥b>0).
(1)用尺规作图法作出以AB为直径的⊙O;(保留作图痕迹)
(2)求证:△ACD∽△DCB;
(3)判断点D与⊙O的位置关系,并说明理由;
(4)试估计代数式a+b和2
√
ab
的大小关系,并结合圆的有关知识,利用图形中线段的数量关系说明你的结论的正确性.
试题解答
见解析
解:(1)已???:线段AB,
求作:⊙O,且以AB为直径;
作法:①分别以A、B为圆心,大于
1
2
AB为半径作弧,交于M、N两点;
②连接MN,交AB于点O;
③以O为圆心,OA长为半径作圆.
结论:⊙O即为所求作的圆.
(2)证明:∵AC?BC=CD
2
,即
AC
CD
=
CD
BD
;
又∵∠DCA=∠DCB=90°,
∴△DCA∽△BCD,
(3)点D在⊙O上;
理由:由题意知:AC?BC=CD
2
,即
AC
CD
=
CD
BD
;
又∵∠DCA=∠DCB=90°,
∴△DCA∽△BCD,
∴∠DAC=∠BDC,又∵∠DAC+∠ADC=90°,
∴∠BDC+∠ADC=90°,即∠ADB=90°;
由圆周角定理知:点D在⊙O上.
(4)结论:a+b≥2
√
ab
;
由(2)知,点D、E都在⊙O上,∵AB是⊙O的直径,AB⊥DE,
∴DE=2DC=2
√
ab
,
∵AB≥DE,
∴a+b≥2
√
ab
.
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