设函数f（x），若存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切定义域内x均成立，则称f（x）为F函数．给出下列函数：①f（x）=0；②f（x）=2x；③f（x）=x2-3x+1，x≥2； ④f（x）=xx2+x+1；你认为上述四个函数中，哪几个是F函数，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

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设函数f（x），若存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切定义域内x均成立，则称f（x）为F函数．给出下列函数：
①f（x）=0；②f（x）=2x；③f（x）=x²-3x+1，x≥2； ④f（x）=

x²+x+1

；
你认为上述四个函数中，哪几个是F函数，请说明理由．

见解析

解：①若f（x）=0；则|f（x）|=0，
∴当m＞0时，恒有|f（x）|≤m|x|成立，∴满足条件．
②f（x）=2x；|f（x）|=2|x|≤2|x|，
当m=2时，|f（x）|≤m|x|成立，∴满足条件．
③f（x）=x²-3x+1，x≥2；则

|f(x)|

|x|

x²-3x+1

|=|x+

-3|，
∵x≥2，函数y=x+

为增函数，
∴y=x+

≥2+

，
则不存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切定义域内x均成立，
∴不满足条件．
④f（x）=

x²+x+1

；则

|f(x)|

|x|

x²+x+

(x+

)²+

≤

，
∴当m=

时，|f（x）|≤m|x|对一切定义域内x均成立，∴满足条件．
故只有①②④满足条件．

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