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  • 函数f(x)= |1-1x|（x＞0）．（1）求f（x）的单调减区间并证明；（2）是否存在正实数m，n（m＜n），使函数f（x）的定义域为[m，n]时值域为[m6，n6]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f(x)= |1-
      1
      x
      |（x＞0）．
      （1）求f（x）的单调减区间并证明；
      （2）是否存在正实数m，n（m＜n），使函数f（x）的定义域为[m，n]时值域为[
      m
      6
      ，
      n
      6
      ]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）的单调减区间为（0，1]（2分）
      任取x      1，x2∈（0，1]且x1＜x2（3分）
      则f(x      1)-f(x2)= |1-
      1
      x1
      |-|1-
      1
      x2
      |（4分）
      =(
      1
      x1
      -1 )-(
      1
      x2
      -1 )=
      x2-x1
      x1x2
      ＞0（6分）
      ∴f（x      1）＞f（x2）
      ∴f（x）在（0，1]上为减函数（7分）

      （2）①若m，n∈（0，1]，则f（m）＞f（n）
      ∴
      {
      f(m)=
      n
      6
      f(n)=
      m
      6
      ?
      {
      |1-
      1
      m
      |=
      n
      6
      |1-
      1
      n
      |=
      m
      6
      ?
      {
      1
      m
      -1=
      n
      6
      1
      n
      -1=
      m
      6

      两式相减，得
      n-m
      mn
      =
      n-m
      6
      不可能成立（9分）
      ②若m∈（0，1]，n∈[1，+∞），则f（x）的最小值为0，不合题意（10分）
      ③若m，n∈[1，+∞），则f（m）＜f（n）
      ∴
      {
      f(m)=
      m
      6
      f(n)=
      n
      6
      ?
      {
      |1-
      1
      m
      |=
      m
      6
      |1-
      1
      n
      |=
      n
      6
      ；
      ∴
      {
      1-
      1
      m
      =
      m
      6
      1-
      1
      n
      =
      n
      6
      ；∴m，n为1-
      1
      x
      =
      x
      6
      的不等实根
      ∴m=3-
      √3
      ，n=3+
      √3

      综上，存在m=3-
      √3
      ，n=3+
      √3
      符合题意．（12分）
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