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已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=3,若a,b∈[-1,1],a+b≠0时,有f(a)+f(b)a+b>0成立.(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明;(2)解不等式:f(x+12)<f(1x-1);(3)若当a∈[-1,1]时,f(x)≤m2-2am+3对所有的x∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=3,若a,b∈[-1,1],a+b≠0时,有
f(a)+f(b)
a+b
>0成立.
(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明;
(2)解不等式:f(x+
1
2
)<f(
1
x-1
);
(3)若当a∈[-1,1]时,f(x)≤m
2
-2am+3对所有的x∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)任取x
1
,x
2
∈[-1,1],且x
1
<x
2
,则-x
2
∈[-1,1],
∵f(x)为奇函数,
∴f(x
1
)-f(x
2
)=f(x
1
)+f(-x
2
)=
f(x
1
)+f(-x
2
)
x
1
-x
2
?(x
1
-x
2
),
由已知得
f(x
1
)+f(-x
2
)
x
1
-x
2
>0,x
1
-x
2
<0,∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
).
∴f(x)在[-1,1]上单调递增.
(2)∵f(x)在[-1,1]上单调递增,∴
{
x+
1
2
<
1
x-1
-1≤x+
1
2
≤1
-1≤
1
x-1
≤1
,解得
-
3
2
≤x<-1,
∴不等式的解集为{x|-
3
2
≤x<-1}.
(3)∵f(1)=3,f(x)在[-1,1]上单调递增,
∴在[-1,1]上,f(x)≤3,即m
2
-2am+3≥3,
∴m
2
-2am≥0对a∈[-1,1]恒成立,求m的取值范围.
设g(a)=-2m?a+m
2
≥0,
①若m=0,则g(a)=0≥0,自然对a∈[-1,1]恒成立.
②若m≠0,则g(a)为a的一次函数,若g(a)≥0对a∈[-1,1]恒成立,
则必须g(-1)≥0,且g(1)≥0,∴m≤-2或m≥2.
∴m的取值范围是m=0或m≤-2或m≥2.
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