已知a∈R，函数f(x)={1-1x， x＞0(a-1)x+1， x≤ 0．（1）求f（1）的值；（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）求函数f（x）的零点．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知a∈R，函数f(x)=

{

， x＞0

(a-1)x+1， x≤ 0

．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）求函数f（x）的零点．

见解析

解：（1）当x＞0时，f(x)=1-

，
∴f(1)=1-

=0．…（2分）
（2）证明：在（0，+∞）上任取两个实数x₁，x₂，且x

₁

＜x₂，…（3分）
则f(x₁)-f(x₂)=(1-

x₁

)-(1-

x₂

)…（4分）
=

x₂

₁

x₁-x₂

x₁x₂

．…（5分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0．
∴

x₁-x₂

x₁x₂

＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．…（7分）
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（8分）
（3）（ⅰ）当x＞0时，令f（x）=0，即1-

=0，解得x=1＞0．
∴x=1是函数f（x）的一个零点．…（9分）
（ⅱ）当x≤0时，令f（x）=0，即（a-1）x+1=0．（※）
当a＞1时，由（※）得x=

1-a

＜0，
∴x=

1-a

是函数f（x）的一个零点；　　 …（11分）
当a=1时，方程（※）无解；
当a＜1时，由（※）得x=

1-a

＞0，（不合题意，舍去）．…（13分）
综上所述，当a＞1时，函数f（x）的零点是1和

1-a

；当a≤1时，函数f（x）的零点是1．…（14分）

标签