已知函数f（x）满足xf（x）=b+cf（x），b≠0，f（2）=-1，且f（1-x）=-f（x+1）对两边都有意义的任意 x都成立（1）求f（x）的解析式及定义域（2）写出f（x）的单调区间，并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数？试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）满足xf（x）=b+cf（x），b≠0，f（2）=-1，且f（1-x）=-f（x+1）对两边都有意义的任意 x都成立
（1）求f（x）的解析式及定义域
（2）写出f（x）的单调区间，并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数？

见解析

解：（1）由xf（x）=b+cf（x），b≠0，∴x≠c，得f（x）=

x-c

，
由f（1-x）=-f（x+1），得

1-x-c

x+1-c

，解得c=1，
由f（2）=-1，得-1=

2-1

，解得b=-1，
∴f（x）=

-1

x-1

1-x

，
∵1-x≠0，∴x≠1，即f（x）的定义域为{x|x≠1}．
（2）f（x）的单调区间为（-∞，1），（1，+∞）且都为增区间，
证明：当x∈（-∞，1）时，设x₁＜x₂＜1，
则1-x₁＞0，1-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

1-x₁

1-x₂

x₁-x₂

(1-x₁)(1-x₂)

，
∵1-x₁＞0，1-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增．同理f（x）在（1，+∞）上单调递增．

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