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若函数f（x）=|ex+aex|在x∈[-12，1]上增函数，则实数a的取值范围是．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

若函数f（x）=|e^x+

a

e^x

|在x∈[-

1

2

，1]上增函数，则实数a的取值范围是．

试题解答

[-

1

e

，

1

e

]

解：（1）当a＜0时，e^x+

a

e^x

单调递增，
①若x∈[-

1

2

，1]时，e^x+

a

e^x

≤0，则f（x）=-（e^x+

a

e^x

）单调递减，与函数f（x）=|e^x+

a

e^x

|在x∈[-

1

2

，1]上是增函数不符；
②若x∈[-

1

2

，1]时，e^x+

a

e^x

有零点x₀，x₀∈(-

1

2

，1)，则-

1

2

＜x＜x₀时，e^x+

a

e^x

＜0，f（x）=-（e^x+

a

e^x

）单调递减，也与题意不符，
故必有e^x+

a

e^x

≥0在x∈[-

1

2

，1]上恒成立，即a≥-e^2x恒成立，
又x∈[-

1

2

，1]时，-e^2x≤-e^2(-1
2
)=-

1

e

，∴-

1

e

≤a＜0．
（2）当a≥0时，f（x）=e^x+

a

e^x

，f′（x）=e^x-

a

e^x

，
∵f（x）在x∈[-

1

2

，1]上是增函数，∴f′（x）=e^x-

a

e^x

≥0在x∈[-

1

2

，1]上恒成立，
即a≤e^2x，又e^2x≥e^2(-1
2
)=

1

e

，所以0＜a≤

1

e

，综上，实数a的取值范围为[-

1

e

，

1

e

]．
故答案为：[-

1

e

，

1

e

]．

标签

必修1 人教A版单选题高中数学

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