已知函数f（x）=2x-e2x+2，函数g（x）=ln（mx+1）+1-x1+x，其中x≥0，m＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对于任意的x≥0，若恒有g（x）≥f（x）成立，求m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=2x-e^2x+2，函数g（x）=ln（mx+1）+

1-x

1+x

，其中x≥0，m＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对于任意的x≥0，若恒有g（x）≥f（x）成立，求m的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵函数f（x）=2x-e^2x+2，
∴f′（x）=2-2e^2x，
在（-∞，0）上，f′（x）＞0，故函数的增区间为（-∞，0）．
在（0，∞）上，f′（x）＜0，故函数的减区间为（0，+∞）．
（2）由（1）得，当x=0时，f（x）=2x-e^2x+2取最大值1，
若对于任意的x≥0，恒有g（x）≥f（x）成立，
则g（x）≥1对于任意的x≥0恒成立，
∵g′（x）=

mx+1

-2

(1+x)²

mx²+m-2

(mx+1)(1+x)²

，
∵x≥0，m＞0．
∴mx+1＞0，
①当m≥2时，在区间（0，+∞）上，g′（x）＞0，
∴g（x）的单调递增区间为（0，+∞），则当x=0时，g（x）取最小值1，满足条件；
②当0＜m＜2时，令g′（x）＞0，解得：x＞

√

2-m

，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜

√

2-m

，
故当x=

√

2-m

时，函数取最小值，此时f（

√

2-m

）＜f（0）=1，不满足条件，
综上所述：m的取值范围为[2，+∞）

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f（x）=2x-e2x+2，函数g（x）=ln（mx+1）+1-x1+x，其中x≥0，m＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对于任意的x≥0，若恒有g（x）≥f（x）成立，求m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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