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  • 函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]?D，使得满足：f（x）在[a，b]上是单调函数且在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的是 ①f（x）=x3（x∈R）②f（x）=1x（x∈R，x≠0）③f（x）=4xx2+1（x∈R）④f（x）=ex（x∈R）⑤f（x）=lg|x|+2（x∈R，x≠0）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]?D，使得满足：f（x）在[a，b]上是单调函数且在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的是         
      ①f（x）=x      3（x∈R）
      ②f（x）=
      1
      x
      （x∈R，x≠0）
      ③f（x）=
      4x
      x2+1
      （x∈R）
      ④f（x）=e      x（x∈R）
      ⑤f（x）=lg|x|+2（x∈R，x≠0）

      试题解答

      ①②③⑤
      解：对于①，易知f（x）x3在[a，b]上单调递增，由题意设
      {
      a3=2a
      b3=2b
      ，解得当
      {
      a=-
      √2
      b=0
      或
      {
      a=0
      b=
      √2
      或
      {
      a=-
      √2
      b=
      √2
      时，满足条件；
      对于②f（x）在（0，+∞）上单调递减，取区间[a，b]?（0，+∞），由题意设
      {
      1
      a
      =2b
      1
      b
      =2a
      ，所以只需ab=
      1
      2
      即可，满足条件；
      对于③，f（x）在[-1，1]上单调递增，取区间[a，b]?[-1，1]，由题意设
      {
      4a
      a2+1
      =2a
      4b
      b2+1
      =2b
      ，解得当
      {
      a=-1
      b=0
      或
      {
      a=0
      b=1
      或
      {
      a=-1
      b=1
      时，满足条件；
      对于④，易知f（x）=e      x递增，由题意设
      {
      ea=2a
      eb=2b
      ，即a，b是方程ex=2x的两个根，由于两函数
      {
      y=ex
      y=2x
      没有交点，故对应方程无解，所以不满足条件；
      对于⑤f（x）在（0，+∞）上单调递增，取区间[a，b]?（0，+∞），由题意设
      {
      lga+2=2a
      lgb+2=2b
      ，即a，b是方程lgx+2=2x的两个根，由于两函数
      {
      y=lgx+2
      y=2x
      有两个交点，故对应方程有两个根，即存在a，b满足条件．所以存在“和谐区间”的是①②③⑤．
      故答案为：①②③⑤．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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