已知函数f(x)=4x+k?2x+14x+2x+1．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为-2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

4^x+k?2^x+1

4^x+2^x+1

．
（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）的最小值为-2，求实数k的值；
（3）若对任意的x₁，x₂，x₃∈R，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．

见解析

解：（1）因为4^x+2^x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4^x+k?2^x+1＞0恒成立，即k＞-2^x-2^-x恒成立，
因为-2^x-2^-x=-（2^x+2^-x）≤-2，当且仅当2^x=2^-x即x=0时取等号，
所以k＞-2；
（2）f(x)=

4^x+k?2^x+1

4^x+2^x+1

=1+

k-1

2^x+

2^x

，
令t=2^x+

2^x

+1≥3，则y=1+

k-1

(t≥3)，
当k＞1时，y∈(1，

k+2

]无最小值，舍去；
当k=1时，y=1最小值不是-2，舍去；
当k＜1时，y∈[

k+2

，1)，最小值为

k+2

=-2?k=-8，
综上所述，k=-8．
（3）由题意，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）对任意x₁，x₂，x₃∈R恒成立．
当k＞1时，因2＜f(x₁)+f(x₂)≤

2k+4

且1＜f(x₃)≤

k+2

，
故

k+2

≤2，即1＜k≤4；
当k=1时，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，满足条件；
当k＜1时，

2k+4

≤f(x₁)+f(x₂)＜2且

k+2

≤f(x₃)＜1，故1≤

2k+4

，解得-

≤k＜1；
综上所述，-

≤k≤4

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