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已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)满足f(0)=-1,方程f(x)=x-1只有一个根,且f(-12+x)=f(-12-x)(1)求函数f(x)的解析式;(2)是否存在实数a,使函数g(x)=log 12(f(a))x在(-∞,+∞)上为减函数?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=ax
2
+bx+c(a>0)满足f(0)=-1,方程f(x)=x-1只有一个根,且f(-
1
2
+x)=f(-
1
2
-x)
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)是否存在实数a,使函数g(x)=log
1
2
(f(a))
x
在(-∞,+∞)上为减函数?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.
试题解答
见解析
解:(1)∵函数f(x)=ax
2
+bx+c(a>0)满足f(0)=-1,
∴f(0)=c=-1,
∵f(-
1
2
+x)=f(-
1
2
-x),
∴函数关于x=-
1
2
对称,
则x=-
b
2a
=-
1
2
,即a=b,
则f(x)=ax
2
+ax-1,
则f(x)=x-1,即ax
2
+ax-1=x-1,
则ax
2
+(a-1)x=0,
∵f(x)=x-1只有一个根,
∴△=(a-1)
2
-0=0,
解得a=1,则b=1,
即函数f(x)的解析式为f(x)=x
2
+x-1;
(2)若存在实数a,使函数g(x)=log
1
2
(f(a))
x
在(-∞,+∞)上为减函数,
则根据复合函数单调性之间的关系可知函数y=f(a)
x
在(-∞,+∞)上为增函数,
即f(a)=a
2
+a-1>1,即a
2
+a-2>0;
解得a>1或a<-2,
即当a>1或a<-2时,函数g(x)=log
1
2
[(f(a)]
x
在(-∞,+∞)上为减函数.
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必修1
人教A版
单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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