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对于函数f(x)与g(x)和区间D,如果存在x0∈D,使|f(x0)-g(x0)|≤1,则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好点”.现给出两个函数:①f(x)=x2,g(x)=2x-2;②f(x)=√x,g(x)=x+2;③f(x)=e-x,g(x)=-1x;④f(x)=lnx,g(x)=x,则在区间(0,+∞)上的存在唯一“友好点”的是( )试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
对于函数f(x)与g(x)和区间D,如果存在x
0
∈D,使|f(x
0
)-g(x
0
)|≤1,则称x
0
是函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好点”.现给出两个函数:
①f(x)=x
2
,g(x)=2x-2;
②f(x)=
√
x
,g(x)=x+2;
③f(x)=e
-x
,g(x)=-
1
x
;
④f(x)=lnx,g(x)=x,
则在区间(0,+∞)上的存在唯一“友好点”的是( )
试题解答
D
解:①f(x)-g(x)=x
2
-2x+2=(x-1)
2
+1≥1,∴要使|f(x
0
)-g(x
0
)|≤1,则只有当x
0
=1时,满足条件,
∴在区间(0,+∞)上的存在唯一“友好点”,∴①正确.
②g(x)-f(x)=x-
√
x
+2=(
√
x
-
1
2
)
2
+
7
4
≥
7
4
>1,∴不存在x
0
∈D,使|f(x
0
)-g(x
0
)|≤1,∴函数不存在“友好点”,∴②错误.
③设h(x)=f(x)-g(x)=e
-x
+
1
x
,则函数h(x)在(0,+∞)上单调减,∴x→0,h(x)→+∞,x→+∞,h(x)→0,使|f(x
0
)-g(x
0
)|≤1的x
0
不唯一,
∴③不满足条件,∴③错误.
④h(x)=g(x)-f(x)=x-lnx,(x>0),h′(x)=1-
1
x
,
令h′(x)>0,可得x>1,令h′(x)<0,可得0<x<1,
∴x=1时,函数取得极小值,且为最小值,最小值为h(1)=1-0=1,
∴g(x)-f(x)≥1,
∴当x
0
=1时,使|f(x
0
)-g(x
0
)|≤1的x
0
唯一,∴④满足条件.
故选:D.
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单选题
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数学
集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
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