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  • 函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）判断并证明f（x）在（-1，1）的单调性；（Ⅲ）求满足f（t-1）+f（t）＜0的t的范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f(x)=
      ax+b
      1+x2
      是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(
      1
      2
      )=
      2
      5

      （Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
      （Ⅱ）判断并证明f（x）在（-1，1）的单调性；
      （Ⅲ）求满足f（t-1）+f（t）＜0的t的范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵函数f(x)=
      ax+b
      1+x2
      是定义在（-1，1）的奇函数
      ∴f（0）=0，∴b=0
      ∵f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ．
      ∴
      a×
      1
      2
      1+(
      1
      2
      )2
      =
      2
      5
      ，∴a=1
      ∴f(x)=
      x
      1+x2
      ；
      （Ⅱ）函数f（x）在（-1，1）上为增函数，证明如下
      在区间（-1，1）上任取x      1，x2，令-1＜x1＜x2＜1，
      ∴f（x      1）-f（x2）=
      x1
      1+x12
      -
      x2
      1+x22
      =
      (x1-x2)(1-x1x2)
      (1+x12)(1+x22)
      ；
      ∵-1＜x      1＜x2＜1
      ∴x      1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
      故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
      （Ⅲ）∵f（t-1）+f（t）＜0
      ∴f（t-1）＜-f（t）
      ∴f（t-1）＜f（-t）
      ∵函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数
      ∴
      {
      -1＜t-1＜1
      -1＜-t＜1
      t-1＜-t

      ∴0＜t＜
      1
      2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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