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  • 已知函数f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立．（文1）记h(x)=g(x)f(x)，如果h（x）为奇函数，求b，c满足的条件；（1）当b=0时，记h(x)=g(x)f(x)，若h（x）在[2，+∞）上???增函数，求c的取值范围；（2）证明：当x≥0时，g（x）≤（x+c）2成立；（3）（理3）若对满足条件的任意实数b，c，不等式g（c）-g（b）≤M（c2-b2）恒成立，求M的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立．
      （文1）记h(x)=
      g(x)
      f(x)
      ，如果h（x）为奇函数，求b，c满足的条件；
      （1）当b=0时，记h(x)=
      g(x)
      f(x)
      ，若h（x）在[2，+∞）上???增函数，求c的取值范围；
      （2）证明：当x≥0时，g（x）≤（x+c）      2成立；
      （3）（理3）若对满足条件的任意实数b，c，不等式g（c）-g（b）≤M（c      2-b2）恒成立，求M的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（文1）因为对任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立，所以对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，
      即x      2+（b-2）x+c-b≥0恒成立，所以（b-2）2-4（c-b）≤0，从而c≥
      b2
      4
      +1，即c≥1．
      设h（x）=
      g(x)
      f(x)
      的定义域为D，因为h（x）是奇函数，所以对于任意x∈D，
      h（-x）=-h（x）成立，解得b=0，所以b=0，c≥1．
      （1）因为任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立，
      所以对任意的x∈R，2x+b≤x      2+bx+c，即x2+（b-2）x+c-b≥0恒成立．
      所以（b-2）      2-4（c-b）≤0，从而c≥
      b2
      4
      +1，即c≥1．
      当b=0时，记h（x）=
      g(x)
      f(x)
      =
      x2+c
      2x
      =
      x
      2
      +
      c
      2x
      ，因为h（x）在[2，+∞）上为增函数，
      所以任取x      2＞x1≥2，f（x2）-f（x1）=
      1
      2
      （x2-x1）（1-
      c
      x1?x2
      ）＞0 恒成立．
      即（1-
      c
      x1?x2
      ）＞0 成立，也就是c＜x1?x2成立，所以c≤4，
      即c的取值范围是[1，4]．
      （2）由（1）得，c≥1且c≥
      b2
      4
      +1，所以c≥2
      √
      b2
      4
      ×1
      =|b|，
      因此2c-b=c+（c-b）＞0．
      故当x≥0时，有（x+c）      2-g（x）=（2c-b）x+c（c-1）≥0．
      即当x≥0时，g（x???≤（x+c）      2．
      （3）（理）由（2）知，c≥|b|，当c＞|b|时，
      有M≥
      g(c)-g(b)
      c2-b2
      =
      c2+bc-b2-b2
      c2-b2
      =
      c+2b
      b+c
      ，
      设t=
      b
      c
      ，则-1＜t＜1，所以M≥2-
      1
      1-t
      ，由于y=2-
      1
      1+t
      的值域为（-∞，
      3
      2
      ）；
      当c＞|b|时，M的取值范围是[
      3
      2
      ，+∞）；
      当c=|b|，由（1）知，b=±2，c=2，此时g（c）-g（b）=-8或0，c      2-b2=0，
      从而g（c）-g（b）≤
      3
      2
      （c2-b2）恒成立，综上所述，M的最小值为
      3
      2
      ．
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