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  • 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB中点，E是AC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（1）求异面直线AB与DE所成的角；（2）若M，N分别为棱AC，BC上的动点，求△DMN周长的平方的最小值；（3）在三棱锥D-ABC的外接球面上，求A，B两点间的球面距离和外接球体积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB中点，E是AC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
      （1）求异面直线AB与DE所成的角；
      （2）若M，N分别为棱AC，BC上的动点，求△DMN周长的平方的最小值；
      （3）在三棱锥D-ABC的外接球面上，求A，B两点间的球面距离和外接球体积．

      试题解答

      见解析
      解：（1）取BC的中点F，连EF，DF则AB∥EF，AB与DE所成角即为EF与DE所成角
      ∵AD=BD=2
      √2
      ，∠ADB=90°，∴AB=4∴EF=2
      又∵DE=DF=2，∴异面直线AB与DE所成角为60°
      （2）如图，以C为顶点的侧面展开图，依题意即求DD      1的长
      ∵∠ACD=∠BCD=45°，AC=BC=AB，∴∠ACB=60°
      ∴∠DCD      1=150°，CD=CD1=2
      √2

      ∴D      D
      2
      1
      =(2
      √2
      )2+(2
      √2
      )2-2
      √2
      ?2
      √2
      cos150°=16+8
      √3

      （3）∵2R=
      √3?(2
      √2
      )2
      =2
      √6
      ，∴R=
      √6
      ，V=
      4
      3
      πR3=8
      √6
      π∵AB=4，R=
      √6
      ，∴cosθ=
      (
      √6
      )2+(
      √6
      )2-42
      2?
      √6
      ?
      √6
      =-
      1
      3

      ∴θ=π-arccos
      1
      3
      ，∴A，B两点的球面距离为(π-arccos
      1
      3
      )?
      √6
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