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  • 已知正三棱锥A-BCD中，底面边长BC为3，侧棱长AB为√6，求此正三棱锥的体积及内切球的表面积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知正三棱锥A-BCD中，底面边长BC为3，侧棱长AB为
      √6
      ，求此正三棱锥的体积及内切球的表面积．

      试题解答

      见解析
      解：设底面正三角形BCD的中心为O，可得OB=
      2
      3
      ×3×
      √3
      2
      =
      √3
      ，
      故AO=
      √AC2-OC2
      =
      √AB2-OB2
      =
      √3
      ，
      而正三角形BCD的面积S=
      1
      2
      ×3×3×
      √3
      2
      =
      9
      √3
      4
      ，
      故此正三棱锥的体积V=
      1
      3
      S×AO=
      1
      3
      ×
      9
      √3
      4
      ×
      √3
      =
      9
      4
      ；
      设内切球的半径为R，则由等体积的方法可得：
      1
      3
      R（S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD）=
      1
      3
      R×(3S△ABC+S△ABC)=
      9
      4
      ，
      代入数据可得：
      1
      3
      R?（3×
      1
      2
      ×3×
      √(
      √6
      )2-(
      3
      2
      )2
      +
      1
      2
      ×3×3×
      √3
      2
      ）=
      9
      4
      ，解之可得R=
      3
      √15
      +
      √3
      ，
      故内切球的表面积S′=4πR      2=
      9-3
      √5
      2
      π
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      必修3湘教版解答题高中数学

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