在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知F是线段BD的中点．（Ⅰ）试在棱D1D上确定一点E，使得EF⊥B1C；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B1-EFC的体积．试题及答案-解答题-云返教育

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在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知F是线段BD的中点．
（Ⅰ）试在棱D₁D上确定一点E，使得EF⊥B₁C；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B₁-EFC的体积．

试题解答

见解析

解：（1）当点E为棱DD₁的中点时，会使得EF⊥B₁C．下面证明：…（2分）
∵E、F分别为棱DD₁、BD的中点，∴EF∥BD₁，…（3分）
∵B₁C⊥BC₁，B₁C⊥C₁D₁，又BC₁∩C₁D₁=C₁，∴B₁C⊥平面BC₁D₁，∴B₁C⊥BD₁同理可得B₁C⊥BD，又BD∩BD₁=B，
故BD₁⊥平面AB₁C，所以B₁C⊥BD₁…（5分）
即EF⊥B₁C；…（6分）
（2）由（1）可知：EF⊥B₁C，又EF⊥FC，故EF⊥平面B₁CF，
又EF=

BD₁=

√3

．…（7分）
CF=

√2

，B₁C=2

√2

，B₁F=

√6

，满足勾股定理…（8分）
故S_△B₁CF=

√2

√6

√3

．…（10分）
故三棱锥B₁-EFC的体积为V=

√3

=1．…（13分）

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在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知F是线段BD的中点．（Ⅰ）试在棱D1D上确定一点E，使得EF⊥B1C；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B1-EFC的体积．试题及答案-解答题-云返教育

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