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如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN⊥CD;(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
试题解答
见解析
(1)利用两平行线中的一条垂直于平面另一条也垂直平面判断出NO⊥平面ABCD,利用线面垂直的判定定理与性质定理得到MN⊥CD.
(2)利用等腰三角形的中线垂直于底边得到MN⊥PC,由(1)知,MN⊥CD,利用线面垂直的判定定理得到
MN⊥平面PCD.
证明:(1)连接AC,BD,设AC∩BD=0,连接NO,MO,则NO∥PA.
∵PA⊥平面ABCD,
∴NO⊥平面ABCD,
∴NO⊥AB,
∵MO⊥AB,
∴AB⊥面MNO
∴MN⊥AB,而CD∥AB,
∴MN⊥CD…(6分)
(2)∵∠PDA=45°
∴PA=AD=BC,由△PAM≌△CBM
得PM=CM,
又∵N为PC的中点,
∴MN⊥PC
又MN⊥CD,PC∩CD=C
∴MN⊥平面PCD …(12分)
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必修2
人教A版
解答题
高中
数学
空间中直线与直线之间的位置关系
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