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  • 已知函数f（x）=1+x-x22+x33-x44+…+x20132013，设F（x）=f（x+4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，圆x2+y2=b-a的面积的最小值是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=1+x-
      x2
      2
      +
      x3
      3
      -
      x4
      4
      +…+
      x2013
      2013
      ，设F（x）=f（x+4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，圆x2+y2=b-a的面积的最小值是（　　）

      试题解答

      A
      解：∵f（x）=1+x-
      x2
      2
      +
      x3
      3
      -
      x4
      4
      +…+
      x2013
      2013
      ，
      ∴当x＜-1或x＞-1时，f'（x）=1-x+x      2-x3+…+x2012=
      1+x2013
      1+x
      ＞0．
      而当x=-1时，f'（x）=2013＞0
      ∴f'（x）＞0对任意x∈R恒成立，得函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数
      ∵f（-1）=（1-1）+（-
      1
      2
      -
      1
      3
      ）+…+（-
      1
      2012
      -
      1
      2013
      ）＜0，f（0）=1＞0
      ∴函数f（x）在R上有唯一零点x      0∈（-1，0）
      ∵F（x）=f（x+4），得函数F（x）的零点是x      0-4∈（-5，-4）
      ∴a≤-5且b≥-4，得b-a的最小值为-4-（-5）=1
      ∵圆x      2+y2=b-a的圆心为原点，半径r=
      √b-a

      ∴圆x      2+y2=b-a的面积为πr2=π（b-a）≤π，可得面积的最小值为π
      故选：A
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