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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若f(0)=1,b=-a-1,解关于x不等式f(x)<0;(2)若f(x)的最小值为0,且a<b,设ba=t,请把a+b+cb-a表示成关于t的函数g(t),并求g(t)的最小值.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+c.
(1)若f(0)=1,b=-a-1,解关于x不等式f(x)<0;
(2)若f(x)的最小值为0,且a<b,设
b
a
=t,请把
a+b+c
b-a
表示成关于t的函数g(t),并求g(t)的最小值.
试题解答
见解析
解:(1)由题意可得f(0)=c=1,又b=-a-1,
所以f(x)=ax
2
+bx+c=ax
2
-(a+1)x+1=(x-1)(ax-1).
当a>1时,不等式的解集为:{x|
1
a
<x<1};
当0<a<1时,不等式的解集为:{x|1<x<
1
a
};
当a<0时,不等式的解集为:{x|x<
1
a
或x>1};
当a=1时,不等式的解集为空集.
(2)因为f(x)的最小值为0,所即b
2
=4ac
由因为
b
a
=t,故b=at,c=
at
2
4
,故
a+b+c
b-a
=
a+at+
at
2
4
at-a
=
t
2
+4t+4
4(t-1)
,又因为a<b,所以
b
a
=t>1故g(t)=
t
2
+4t+4
4(t-1)
(t>1)
所以g(t)=
t
2
+4t+4
4(t-1)
=
(t-1)
2
+6(t-1)+9
4(t-1)
=
t-1
4
+
9
4(t-1)
+
3
2
≥2
√
t-1
4
?
9
4(t-1)
+
3
2
=3,当且仅当
t-1
4
=
9
4(t-1)
,即t=4时取等号
故g(t)的最小值为3
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基本不等式
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