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设函数f(x)=x2+2bx+c,c<b<1,f(1)=0且方程f(x)+1=0有实数根.(1)证明:-3<c≤-1,且b≥0;(2)若m是方程f(x)+1=0的一个实数根,判断f(m-4)的符号,并证明你的结论.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)=x
2
+2bx+c,c<b<1,f(1)=0且方程f(x)+1=0有实数根.
(1)证明:-3<c≤-1,且b≥0;
(2)若m是方程f(x)+1=0的一个实数根,判断f(m-4)的符号,并证明你的结论.
试题解答
见解析
解:(1)∵f(1)=0,∴1+2b+c=0;
∴b=-
c+1
2
.
又c<b<1,
故c<-
c+1
2
<1.即-3<c<-
1
3
.
又f(x)+1=0有实数根.
即x
2
+2bx+c+1=0有实数根.
∴△=4b
2
-4(c+1)≥0;
即(c+1)
2
-4(c+1)≥0;
∴c≥3或c≤-1;
又-3<c<-
1
3
,取交集得-3<c≤-1,
由b=-
c+1
2
知b≥0.
(2)f(x)=x
2
+2bx+c
=x
2
-(c+1)x+c
=(x-c)(x-1).
∴函数f(x)=x
2
+2bx+c的图象与x轴交于A(c,0)、B(1,0)两点;
∵f(m)=-1<0,∴c<m<1;
∴c-4<m-4<1-4<c;
∴m-4<c.
∵f(x)=x
2
+2bx+c在(-∞,c)上递减,
∴f(m-4)>f(c)=0.
∴f(m-4)的符号为正.
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