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  • 如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，说明理由；（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，且当x≤0时f（x）=（x+m）2，求y=f（x）在[0，1]上有最大值；（3）设函数g（x）具有“P（±1）性质”，且当-12≤x≤12时，g（x）=|x|．若y=g（x）与y=mx交点个数为2013，求m的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．
      （1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，说明理由；
      （2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，且当x≤0时f（x）=（x+m）      2，求y=f（x）在[0，1]上有最大值；
      （3）设函数g（x）具有“P（±1）性质”，且当-
      1
      2
      ≤x≤
      1
      2
      时，g（x）=|x|．若y=g（x）与y=mx交点个数为2013，求m的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由sin（x+a）=sin（-x）得sin（x+a）=-sinx，
      根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）．
      ∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．…（4分）
      （2）∵y=f（x）具有“P（0）性质”，
      ∴f（x）=f（-x）．
      设x???0，则-x≤0，∴f（x）=f（-x）=（-x+m）      2=（x-m）2
      ∴f(x)=
      {
      (x+m)2&x≤0
      (x-m)2&x≥0
      …（6分）
      当m≤0时，∵y=f（x）在[0，1]递增，
      ∴x=1时      ymax=(1-m)2
      当0＜m＜
      1
      2
      时，y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，且f（0）=m2＜f（1）=（1-m）2，
      ∴x=1时      ymax=(1-m)2
      当m≥
      1
      2
      时，
      ∵y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，且f（0）=m      2≥f（1）=（1-m）2，
      ∴x=0时      ymax=m2
      综上所述：当m＜
      1
      2
      时，ymax=f(1)=(1-m)2；
      当m≥
      1
      2
      时，ymax=f(0)=m2…（11分）
      （3）∵y=g（x）具有“P（±1）性质”，
      ∴g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），
      ∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（-1-x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数．
      又设
      1
      2
      ≤x≤
      3
      2
      ，则-
      1
      2
      ≤1-x≤
      1
      2
      ，
      g（x）=g（x-2）=g（-1+x-1）=g（-x+1）=|-x+1|=|x-1|=g（x-1）．
      再设n-
      1
      2
      ≤x≤n+
      1
      2
      （n∈z），
      当n=2k（k∈z），2k-
      1
      2
      ≤x≤2k+
      1
      2
      则-
      1
      2
      ≤x-2k≤
      1
      2
      ，
      g（x）=g（x-2k）=|x-2k|=|x-n|；
      当n=2k+1（k∈z），2k+1-
      1
      2
      ≤x≤2k+1+
      1
      2
      则
      1
      2
      ≤x-2k≤
      3
      2
      ，
      g（x）=g（x-2k）=|x-2k-1|=|x-n|；
      ∴对于，n-
      1
      2
      ≤x≤n+
      1
      2
      （n∈z），都有g（x）=|x-n|，而n+1-
      1
      2
      ≤x+1≤n+1+
      1
      2
      ，
      ∴g（x+1）=|（x+1）-（n+1）|=|x-n|=g（x），
      ∴y=g（x）是周期为1的函数．
      ①当m＞0时，要使y=mx与y=g（x）有2013个交点，只要y=mx与y=g（x）在[0，1006）有2012个交点，而在[1006，1007]有一个交点．
      ∴y=mx过（
      2013
      2
      ，
      1
      2
      ???，从而得m=
      1
      2013

      ②当m＜0时，同理可得m=-
      1
      2013

      ③当m=0时，不合题意．
      综上所述m=±
      1
      2013
      …（18分）
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