见解析
（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当x∈[-1，1]时，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，
即x-1≤f（x）≤1-x．
（Ⅱ）解：函数g（x）满足题设条件．
验证如下：g（-1）=0=g（1）．
对任意的u，v∈[-1，1]，
当u，v∈[0，1]时，有|g（u）-g（v）|=|（1-u）-（1-v）|=|u-v|；
当u，v∈[-1，0]时，同理有|g（u）-g（v）|=|u-v|；
当u?v＜0，不妨设u∈[-1，0），v∈（0，1]，有|g（u）-g（v）|=|（1+u）-（1-v）|=|u+v|≤|v-u|．
所以，函数g（x）满足题设条件．
（Ⅲ）解：这样满足的函数不存在．
理由如下：假设存在函数f（x）满足条件，则由f（-1）=f（1）=0，得|f（1）-f（-1）|=0，①
由于对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=|u-v|．
所以，|f（1）-f（-1）|=|1-（-1）|=2．②
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．
