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  • 设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件，①f（-1）=f（1）=0，②对任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|（Ⅰ）证明：对任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x（Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[-1，1]都有|f（u）-f（v）|≤1（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f（x）且使得{|f(u)-f(v)|＜|u-v|uv∈[0，12]|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[12，1]；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件，①f（-1）=f（1）=0，②对任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|
      （Ⅰ）证明：对任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x
      （Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[-1，1]都有|f（u）-f（v）|≤1
      （Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f（x）且使得
      {
      |f(u)-f(v)|＜|u-v|uv∈[0，
      1
      2
      ]
      |f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
      1
      2
      ，1]
      ；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      （Ⅰ）证明：由题设条件可知，
      当x∈[-1，1]时，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，即x-1≤f（x）≤1-x．
      （Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[-1，1]，
      当|u-v|≤1时，有|f（u）-f（v）|≤|u-v|≤1
      当|u-v|＞1时，u?v＜0，不妨设u∈[-1，0），v∈（0，1]，则v-u＞1
      从而有|f（u）-f（v）|≤|f（u）-f（-1）|+|f（v）-f（1）|≤|u+1|+|v-1|=2-（v-u）＜1
      综上可知，对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤1
      （Ⅲ）解：这样满足所述条件的函数不存在．理由如下：
      假设存在函数f（x）满足条件，则由|f（u）-f（v）|=|u-v|．
      u，v∈[
      1
      2
      ，1]得|f(
      1
      2
      )-f(1)|=|
      1
      2
      -1|=
      1
      2

      又f（1）=0，所以|f(
      1
      2
      )|=
      1
      2
      ①
      又因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0，
      由条件|f（u）-f（v）|＜|u-v|．
      u，v∈[0，
      1
      2
      ]得|f(
      1
      2
      )|=|f(
      1
      2
      )-f(0)|＜|
      1
      2
      -0|=
      1
      2

      所以|f(
      1
      2
      )|＜
      1
      2
      ②
      ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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