已知a＞0，函数f（x）=ax-bx2．（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2√b；（2）当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是b-1≤a≤2√b；（3）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件．试题及答案-单选题-云返教育

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已知a＞0，函数f（x）=ax-bx²．
（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2

√b

；
（2）当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是b-1≤a≤2

√b

；
（3）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件．

试题解答

见解析

（1）证明：根据题设，对任意x∈R，都有f（x）≤1．
又f（x）=-b（x-

）²+

a²

．∴f（

）=

a²

≤1，
∵a＞0，b＞0，
∴a≤2

√b

．
（2）证明：必要性：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1?f（x）≥-1．据此可推出f（1）≥-1，即a-b≥-1，∴a≥b-1．
对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1?f（x）≤1，因为b＞1，可得0＜

√b

＜1，可推出f（

√b

）≤1，即a?

√b

-1≤1，∴a≤2

√b

，∴b-1≤a≤2

√b

．
充分性：因为b＞1，a≥b-1，对任意x∈[0，1]，可以推出ax-bx²≥b（x-x²）-x≥-x≥-1，即ax-bx²≥-1，因为b＞1，a≤2

√b

对任意x∈[0，1]，可以推出：ax-bx²≤2

√b

x-bx²-b（x-

√b

）²+1≤1，即ax-bx²≤1，∴-1≤f（x）≤1．
综上，当b＞1时，对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是b-1≤a≤2

√b

．
（3）解：因为a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈[0，1]有f（x）=ax-bx²≥-b≥-1，即f（x）≥-1；
f（x）≤1?f（1）≤1?a-b≤1，即a≤b+1，
又a≤b+1?f（x）≤（b+1）x-bx²≤1，即f（x）≤1．
所以，当a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是a≤b+1．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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