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已知函数f(x)=x2t-2t(x2+x)+x2+2t2+1,g(x)=12f(x).(I)证明:当t<2√2时,g(x)在R上是增函数;(Ⅱ)对于给定的闭区间[a,b],试说明存在实数k,当t>k时,g(x)在闭区间[a,b]上是减函数;(Ⅲ)证明:f(x)≥32.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=x
2t
-2t(x
2
+x)+x
2
+2t
2
+1,g(x)=
1
2
f(x).
(I)证明:当t<2
√
2
时,g(x)在R上是增函数;
(Ⅱ)对于给定的闭区间[a,b],试说明存在实数k,当t>k时,g(x)在闭区间[a,b]上是减函数;
(Ⅲ)证明:f(x)≥
3
2
.
试题解答
见解析
解答:解:
(I)证明:由题设易得g(x)=e
2x
-t(e
x
-1)+x,g'(x)=2e
2x
-te
x
+1.又2e
x
+e
-x
≥2
√
2
,且t<2
√
2
得t<2e
x
+e
-x
,
te
x
<2e
2x
+1,即g'(x)=2e
2x
-te
x
+1>0.由此可知,g(x)在R上是增函数.
(II)因为g'(x)<0是g(x)为减函数的充分条件,所以只要找到实数k,使得t>k时g'(x)=2e
2x
-te
x
+1<0,即t>2e
x
+e
-x
在闭区间[a,b]上成立即可.因为y=2e
x
+e
-x
在闭区间[a,b]上连续,故在闭区间[a,b]上有最大值,设其为k,于是在t>k时,g'(x)<0在闭区间[a,b]上恒成立,即g(x)在闭区间[a,b]上为减函数.
(III)设F(t)=2t
2
-2(e
x
+x)t+e
2x
+x
2
+1,即F(t)=2(t-
e
x
+x
2
)
2
+
1
2
(e
x
-x)
2
+1
易F(t)≥
1
2
(e
x
-x)
2
+1,令H(x)=e
x
-x,则H'(x)=e
x
-1,易知H'(0)=0.当x>0时,H'(0)>0;当x<0时,H'(0)<0.故当x=0时,H(x)取最小值,H(0)=1.所以
1
2
(e
x
-x)
2
+1≥
3
2
于是对任意的x,t,都有F(t)≥
3
2
,即f(x)≥
3
2
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