已知二次函数g（x）=ax2-2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．（1）求函数g（x）的解析式；（2）设f(x)=g(x)x．若f（2x）-k?2x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知二次函数g（x）=ax²-2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）设f(x)=

g(x)

．若f（2^x）-k?2^x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，求k的取值范围．

见解析

解：（1）∵g（x）=a（x-1）²-a+1+b
∴函数g（x）的图象的对称轴方程为x=1，
∵a＞0，
∴g（x）=a（x-1）²-a+1+b在区间[2，3]上递增．
依题意得

{	g(2)=1 g(3)=4

即

{	a-a+1+b=1 4a-a+1+b=4

，解得

{

a=1

b=0

∴g（x）=x²-2x+1．
（2）∵f(x)=

g(x)

，
∴f(x)=

g(x)

=x+

-2．
∵f（2^x）-k?2^x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，
即2^x+

2^x

-2-k?2^x≥0在x∈[-1，1]时恒成立
∴k≤(

2^x

)²-2(

2^x

)+1在x∈[-1，1]时恒成立
只需 k≤((

2^x

)²-2(

2^x

)+1)_min
令t=

2^x

，
由x∈[-1，1]得t∈[

，2]
设h（t）=t²-2t+1
∵h（t）=t²-2t+1=（t-1）²，
当t=1时，取得最小值0．
∴k≤h（t）_min=h（1）=0．
∴k的取值范围为（-∞，0）．

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