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已知函数f(x)=sinx,g(x)=px-x36(I)若y=f(x)与y=g(x)在(0,0)处有相同的切线,求p的值(II)在(I)的条件下,求证:当x∈(0,1)时,f(x)>g(x)恒成立(III)若x∈(0,1)时f(x)>g(x)恒成立,求p的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=sinx,g(x)=px-
x
3
6
(I)若y=f(x)与y=g(x)在(0,0)处有相同的切线,求p的值
(II)在(I)的条件下,求证:当x∈(0,1)时,f(x)>g(x)恒成立
(III)若x∈(0,1)时f(x)>g(x)恒成立,求p的取值范围.
试题解答
见解析
解:(I)∵f′(x)=cosx,f′(0)=1,
g
′
(x)=p-
x
2
2
,g′(0)=p,
y=f(x)与y=g(x)在(0???0)处有相同的切线,
∴p=1…(3分)
(II)设F(x)=f(x)-g(x),
当p=1时,F(x)=sinx-x+
x
3
6
,
F
′
(x)=cosx-1+
x
2
2
,
F''(x)=-sinx+x,
当x∈(0,1)时,sinx<x,故F''(x)>0,
从而F′(x)在(0,1)上单调增,
所以,F′(x)>F′(0)=0,
∴F(x)在(0,1)上单调增,
∴F(x)>f(0)=0,即f(x)>g(x)恒成立.
(III)当x∈(0,1)时,
∵F''(x)=-sinx+x>0,
∴F(x)在(0,1)上单调增,从而F(x)在(0,1)内不可能出现先增后减的情况,
∵F(0)=0,
∴要使F(x)>0在(0,1)上恒成立,
必有F(x)在(0,1)上单调递增,
即F′(x)≥0在x∈(0,1)上恒成立,
∵F′(x)∈(1-p,cos1+
1
2
-p),
∴1-p≥0,
即p≤1.
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