已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数，数列{yn}满足ynlogxna=2(a＞0，a≠1)，设y3=18，y6=12．（1）求数列{yn}的前多少项和最大，最大值为多少？（2）试判断是否存在自然数M，使当n＞M时，xn＞1恒成立？若存在，求出相应的M，若不存在，请说明理由；（3）令an=logxnxn+1(n＞13，n∈N)，试判断数列{an}的增减性？试题及答案-单选题-云返教育

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已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足y_nlog_{x_n}a=2(a＞0，a≠1)，设y₃=18，y₆=12．
（1）求数列{y_n}的前多少项和最大，最大值为多少？
（2）试判断是否存在自然数M，使当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求出相应的M，若不存在，请说明理由；
（3）令a_n=log_{x_n}x_n+1(n＞13，n∈N)，试判断数列{a_n}的增减性？

试题解答

见解析

解：（1）由已知得：y_n=2log_ax_n设等比数列{x_n}的公比为q（q≠1）
由y_n+1-y_n=2(log_ax_n₊₁-log_ax_n)=2loga

x_n+1

x_n

=2log_aq得{y_n}为等差数列，设公差为d
∵y₃=18，y₆=12，∴d=-2；∴y_n=y₃+（n-3）d=24-2n
设前k项为最大，则

{	y_k+1≤0 y_k≥0

?11≤k≤12y₁₂=0
∴前11项和前12项和为最大，其和为132
（2）x_n=a^12-n，n∈N^*；若x_n＞1，则a^12-n＞1
当a＞1时，n＜12，显然不成立；当0＜a＜1时，n＞12
∴存在M=12，13，14，…，当n＞M时，x_n＞1
（3）a_n=log_{x_n}x_n+1=log

^12-n

a^12-(n+1)=

n-11

n-12

∵a_n+1-a_n=

n-10

n-11

n-12

-1

(n-11)(n-12)

＜0
∴a_n+1＜a_n∴n＞13时数列{a_n}为递减数列

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必修1 人教A版单选题高中数学

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