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  • 已知函数f(x)=2√3sinxcosx+2cos2x-1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(α)=65，α∈[π4，π2]，求cos2α的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=2
      √3
      sinxcosx+2cos2x-1
      （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，
      π
      2
      ]上的最大值和最小值；
      （Ⅱ）若f(α)=
      6
      5
      ，α∈[
      π
      4
      ，
      π
      2
      ]，求cos2α的值．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由题意，f(x)=2
      √3
      sinxcosx+2cos2x-1=2sin(2x+
      π
      6
      )
      所以函数f（x）的最小正周期为π
      因为f(x)=2sin(2x+
      π
      6
      )在区间[0，
      π
      6
      ]上为增函数，在区间[
      π
      6
      ，
      π
      2
      ]上为减函数，
      又f(0)=1．f(
      π
      6
      )=2，f(
      π
      2
      )=-1，
      所以函数f（x）的最大值为2，最小值为-1
      （Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(α)=2sin(2α+
      π
      6
      )
      又∵f(α)=
      6
      5
      ，∴2sin(2α+
      π
      6
      )=
      6
      5

      ∵α∈[
      π
      4
      ，
      π
      2
      ]，∴2α+
      π
      6
      ∈ [
      2π
      3
      ，
      7π
      6
      ]
      ∴cos(2α+
      π
      6
      )=-
      4
      5

      所以cos2α=cos[(2α+
      π
      6
      )-
      π
      6
      ]=
      -4
      √3
      +3
      10
      标签
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