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已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2都满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),当x<0时,f(x)<0.(1)判断f(x)的单调性;(2)判断f(x)的奇偶性;(3)是否存在这样的实数m,当θ∈[0,π2]时,使不等式f[cos2θ-(2+m)sinθ]+f(3+2m)>0对所有θ恒成立,若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x
1
,x
2
都满足f(x
1
+x
2
)=f(x
1
)+f(x
2
),
当x<0时,f(x)<0.
(1)判断f(x)的单调性;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)是否存在这样的实数m,当θ∈[0,
π
2
]时,使不等式f[cos
2
θ-(2+m)sinθ]+f(3+2m)>0对所有θ恒成立,若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
试题解答
见解析
解:(1)设x
1
<x
2
则x
1
-x
2
<0,
f(x
1
)=f(x
1
-x
2
+x
2
)=f(x
1
-x
2
)+f(x
2
)<f(x
2
)
∴f(x)在(-∞,+∞)上为增函数
(2)令x
1
=x
2
=0有f(0)=0
∴f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数
(3)假设存在实数m,由条件得f[cos
2
θ-(2+m)sinθ+3+2m]>f(0)?cos
2
θ-(2+m)sinθ+3+2m>0
令t=sinθt∈[0,1]有-t
2
-(2+m)t+4+2m>0在[0,1]上恒成立
令g(t)=-t
2
-(2+m)t+4+2m则有
{
g(0)>0
g(1)>0
?m>-1
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