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  • 函数f（x）定义在区间（0，+∞），y∈R，都有f（xy）=yf（x），且f（x）不恒为零．（1）求f（1）的值；（2）若a＞b＞c＞1且b2=ac，求证：f（a）f（c）＜[f（b）]2；（3）若f（12）＜0，求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f（x）定义在区间（0，+∞），y∈R，都有f（xy）=yf（x），且f（x）不恒为零．
      （1）求f（1）的值；
      （2）若a＞b＞c＞1且b      2=ac，求证：f（a）f（c）＜[f（b）]2；
      （3）若f（
      1
      2
      ）＜0，求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

      试题解答

      见解析
      （1）令x=1，y=2，可知f（1）=2f（1），故f（1）=0，
      （2）设x      y=ac，则y=log?xac，
      ∴f（ac）=f（x      y）=yf（x）=（log?xac）f（x）=（log?xa+log?xc）f（x）=（log?xa）f（x）+（log?xc）f（x）=f(xlog?xa)+f(xlog?xc)=f(a)+f(c)，
      ∵b      2=ac，
      ∴f（b      2）=f（ac），
      即2f（b）=f（a）+f（c），
      f（b）=
      f(a)+f(c)
      2
      ，
      ∴      [f(b)]2-f(a)f(c)=[
      f(a)+f(c)
      2
      ]2-f(a)f(c)=[
      f(a)-f(c)
      2
      ]2≥0．
      下面证明当x≠1时，f（x）≠0．
      假设存在x≠1，f（x      0）=0，则对于任意x≠1，
      f(x)=f[      x0logx0x]=(log?x0x)f(x0)=0，不合题意．所以，当x≠1时，f（x）≠0．
      因为a＞b＞c＞1，所以存在m≠1，
      f（a）-f（c）=f(m      log?ma)-f(mlog?mc)=(log?ma-log?mc)f(m)≠0，
      所以f（a）≠f（c），所以f（a）f（c）＜f      2（b）．
      （3）设x      0∈（0，1），则f(x0)=f[(
      1
      2
      )log?
      1
      2
      x0      ]=(log?
      1
      2
      x0)f(
      1
      2
      )＜0，
      设x      1，x2为区间（0，+∞）内的任意两个值，且x1＜x2，则0＜
      x1
      x2
      ＜1，
      由（2）的证明知，
      f（x      1）-f（x2）=f(
      x1
      x2
      ×x2)-f(x2)=f(
      x1
      x2
      )+f(x2)-f(x2)=f(
      x1
      x2
      )＜0，
      所以f（x      1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．
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