试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 已知定义在R上的函数f（x），对任意的实数m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，且当x＞0时，有f（x）＞1成立．（Ⅰ）求f（0）的值，并证明当x＜0时，有0＜f（x）＜1成立；（Ⅱ）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若f（1）=2，数列{an}满足an=f（n）（n∈N*），记Sn=1a1+1a2+…+1an，且对一切正整数n有f(√1-m)＞2Sn恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义在R上的函数f（x），对任意的实数m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，且当x＞0时，有f（x）＞1成立．
      （Ⅰ）求f（0）的值，并证明当x＜0时，有0＜f（x）＜1成立；
      （Ⅱ）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；
      （Ⅲ）若f（1）=2，数列{a      n}满足an=f（n）（n∈N*），记Sn=
      1
      a1
      +
      1
      a2
      +…+
      1
      an
      ，且对一切正整数n有f(
      √1-m
      )＞2Sn恒成立，求实数m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）令m=0，n=1，得f（1）=f（0）f（1），
      由题意得f（1）＞1，所以f（0）=1．
      若x＜0，则f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1，
      ∴f(x)=
      1
      f(-x)
      ．
      由已知f（-x）＞1，得0＜f（x）＜1．

      （Ⅱ）任取x      1，x2∈R且设x1＞x2，
      由已知和（Ⅰ）得f（x）＞0（x∈R），
      ∴
      f(x1)
      f(x2)
      =
      f(x1-x2+x2)
      f(x2)
      =f(x1-x2)，（7分）∵x1-x2＞0，∴f（x1-x2）＞1，
      ∴f（x      1）＞f（x2）．
      所以函数f（x）在R上是增函数．

      （Ⅲ）
      an
      an-1
      =
      f(n)
      f(n-1)
      =f(1)=2，
      ∴数列{a      n}是首项为2，公比为2的等比数列．
      ∴a      n=2n．Sn=
      1
      a1
      +
      1
      a2
      ++
      1
      an
      =
      1
      2
      [1-(
      1
      2
      )n]
      1-
      1
      2
      =1-(
      1
      2
      )n．
      又对一切正整数n，有f(
      √1-m
      )＞2Sn恒成立，
      即f(
      √1-m
      )≥2恒成立．
      又f（1）=2，∴f(
      √1-m
      )≥f(1)恒成立．
      又由（Ⅱ）得
      √1-m
      ≥1，
      解得m的取值范围是m≤0．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

    集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn