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  • 已知函数y=f（x）是定义在R上的函数．（1）若函数y=f（x）满足：f（xy）=f（x）+f（y），f(13)=1，①求f（1），f(19)的值，②若函数y=f（x）是定义域为R+的减函数，且f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．（2）若函数y=f（x）对一切x∈R满足f（x+2）=-f（x），求证：f（x）是周期函数；（3）若函数y=f（x）对一切x、y∈R满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证：f（x）是奇函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数y=f（x）是定义在R上的函数．
      （1）若函数y=f（x）满足：f（xy）=f（x）+f（y），f(
      1
      3
      )=1，
      ①求f（1），f(
      1
      9
      )的值，
      ②若函数y=f（x）是定义域为R      +的减函数，且f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．
      （2）若函数y=f（x）对一切x∈R满足f（x+2）=-f（x），求证：f（x）是周期函数；
      （3）若函数y=f（x）对一切x、y∈R满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证：f（x）是奇函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）①令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），
      ∴f（1）=0，
      ∵f（
      1
      3
      ）=1，
      ∴f（
      1
      9
      ）=f（
      1
      3
      ×
      1
      3
      ）=f（
      1
      3
      ）+f（
      1
      3
      ）=2；
      ②由①知f（
      1
      9
      ）=2，
      ∴f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜f（
      1
      9
      ），
      又函数y=f（x）是定义域为R      +的减函数，
      得：
      {
      x(2-x)＞
      1
      9
      x＞0
      2-x＞0
      ，解之得：x∈（1-
      2
      √2
      3
      ，1+
      2
      √2
      3
      ）．
      （2）因函数y=f（x）对一切x∈R满足f（x+2）=-f（x），
      ∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
      ∴y=f（x）是以T=4为周期的周期函数．
      （3）因函数y=f（x）对一切x、y∈R满足f（x+y）=f（x）+f（y），
      ∴令x=y=0得：f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0，
      ∴令y=-x，得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x），
      即f（x）+f（-x）=f（0）=0，
      ∴f（-x）=-f（x），
      ∴f（x）是奇函数．
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