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  • 已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0．求证：（1）对任意的x∈R，都有f(1x)=-f(x)；（2）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0．
      求证：（1）对任意的x∈R，都有f(
      1
      x
      )=-f(x)；
      （2）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性．

      试题解答

      见解析
      解：（1）证明：令x=y=1，则有f（1）=f（1）+f（1）?f（1）=0．
      对任意x＞0，用
      1
      x
      代替y，有f(x)+f(
      1
      x
      )=f(x?
      1
      x
      )=f(1)=0，∴f(
      1
      x
      )=-f(x)．
      （2）f（x）在（-∞，0）上是减函数．
      取x      1＜x2＜0，则
      x1
      x2
      ＞1，∴f(
      x1
      x2
      )＞0，
      ∵f（x      1）-f（x2）=f（x1）+f(
      1
      x2
      )=f(
      x1
      x2
      )＞0，
      ∴f（x      1）＞f（x2），
      ∴f（x）在（-∞，0）上为减函数．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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