若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而y=f(x)x在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”．已知f（x）=x2+（cotθ-1）x+b（θ、b是常数，b＞0）．（1）若f（x）是偶函数，求θ、b应满足的条件；（2）当cotθ≥1时，f（x）在（0，1]上是否是“弱增函数”，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而y=

f(x)

在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”．已知f（x）=x²+（cotθ-1）x+b（θ、b是常数，b＞0）．
（1）若f（x）是偶函数，求θ、b应满足的条件；
（2）当cotθ≥1时，f（x）在（0，1]上是否是“弱增函数”，请说明理由．

见解析

解：（1）若f（x）是偶函数，则f（x）=f（-x），…（2分）
即x²+（cotθ-1）x+b=x²-（cotθ-1）x+b对任意x∈R恒成立，
∴cotθ=1，b＞0，…（4分）
∴若f（x）是偶函数，则θ=kπ+

（k∈Z），b＞0，…（6分）
（2）当cotθ≥1时，f（x）=x²+（cotθ-1）x+b的对称轴是x=-

cotθ-1

≤0
∴f（x）在（0，1]上是增函数 …（8分）
考察函数g(x)=

f(x)

=x+

+(cotθ-1)，
①当

√b

≥1，即b≥1时，设0＜x₁＜x₂≤1，
则g(x₁)-g(x₂)=[x₁+

x₁

+(cotθ-1)]-[x₂+

x₂

+(cotθ-1)]=

(x₁-x₂)(x₁x₂-b)

x₁x₂

∵0＜x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1≤b，
∴g(x₁)-g(x₂)=

(x₁-x₂)(x₁x₂-b)

x₁x₂

＞0
即g（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在（0，1]上是“弱增函数”；…（12分）
②当0＜

√b

＜1，即0＜b＜1时，g（b）=g（1）=1+b+（cotθ-1），
即g（x）在（0，1]上不是单调函数，∴f（x）在（0，1]上不是“弱增函数”．…（13分）
综上所述，b≥1时，f（x）在（0，1]上是“弱增函数”；0＜b＜1时，f（x）在（0，1]上不是“弱增函数”…（14分）

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