本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．已知a为实数，f(x)=a-22x+1(x∈R)．（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（2）当f（x）是奇函数时，若方程f-1（x）=log2（x+t）总有实数根，求实数t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．
已知a为实数，f(x)=a-

2^x+1

(x∈R)．
（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）当f（x）是奇函数时，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）总有实数根，求实数t的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f(x)=a-

2^x+1

(x∈R)
∴f（x）的导数为f'（x）=-

-2×2^xln2

(2^x+1)²

2^x+1ln2

(2^x+1)²

＞0在（-∞，+∞）上恒成立
∴对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）因为f（x）是R上的奇函数，所以f(0)=a-

2⁰+1

=0，可得a=1．
∴f(x)=1-

2^x+1

1-2^x

2^x+1

，
令y=

1-2^x

2^x+1

，可得2^x=

1+y

1-y

，x=log₂

1+y

1-y

，（-1＜y＜1）
∴函数f（x）的反函数为：f^-1(x)=log₂

1+x

1-x

(-1＜x＜1)
由log₂

1+x

1-x

=log₂(x+t)得

1+x

1-x

=x+t，即-1+

1-x

=x+t，
∴t=(1-x)+

1-x

-2≥2

√2

-2
当且仅当1-x=

1-x

，即x=1-

√2

时等号成立，
所以，t的取值范围是[2

√2

-2，+∞)．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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