见解析
解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0
（2）令y=-x，得f（-x+x）=f（x）+f（-x）
即f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x）
因此f（x）为R上的奇函数，
（3）设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0
∴f（x2-x1）＞0
又∵f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）
∴f（x2）-f（x1）＞0，可得f（x1）＜f（x2）
∴f（x）为奇函数
∴f（1）=-f（-1）=2，f（-2）=2f（-1）=-4
∵f（x）为R上的增???数，
∴当-2≤x≤1时，f（-2）≤f（x）≤f（1），
即函数在[-2，1]上的值域为[-4，2]
