已知f（x）=2x（x∈R）可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若不等式a?g（x）+h（2x）≥0对于x∈[2，3]恒成立，则实数a的取值范围是．试题及答案-单选题-云返教育

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已知f（x）=2^x（x∈R）可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若不等式a?g（x）+h（2x）≥0对于x∈[2，3]恒成立，则实数a的取值范围是．

a≥-

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解：∵h（x）+g（x）=2^x，
∴h（-x）+g（-x）=2^-x，
即h（x）-g（x）=2^-x，
两式联立解得h(x)=

2^x+2^-x

，g（x）=

2^x-2^-x

，
则不等式a?g（x）+h（2x）≥0等价为a?

2^x-2^-x

2^2x+2^-2x

≥0，
∴a?

2^x-2^-x

≥-

2^2x+2^-2x

，
即a（2^x-2^-x）≥-（2^2x+2^-2x），
∵x∈[2，3]，∴2^x-2^-x＞0，且t=2^x-2^-x为增函数，
∴

≤t≤

，
即a≥-（

2^2x+2^-2x

2^x-2^-x

）=-

(2^x-2^-x)²+2

2^x-2^-x

=-（2^x-2^-x+

2^x-2^-x

）=-（t+

），
∵y=t+

在

≤t≤

上是增函数，
∴当t=

时，y取得最小值为

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，
∴-（t+

）≤-

257

，
∴a≥-

257

，
故答案为：a≥-

257

，

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