已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]（Ⅰ）求实数a的值，使y=f（x）在其定义域[-5，5]上是偶函数；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数；（Ⅲ）若函数f（x）的值域是[1，37]，试求实数a的值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（Ⅰ）求实数a的值，使y=f（x）在其定义域[-5，5]上是偶函数；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数；
（Ⅲ）若函数f（x）的值域是[1，37]，试求实数a的值．

试题解答

见解析

解：（I）依题意，f（x）在[-5，5]上是偶函数，∴f （-x）-f （x）=[（-x²）-2ax+2]-（x²+2ax+2）=-4ax=0
对任意x∈[-5，5]成立，∴a=0；
∴当a=0时，y=f （x）在定义域[-5，5]上是偶函数；
（Ⅱ）∵函数f（x）=x²+2ax+2的图象是抛物线，且开口向上，对称轴为x=-a；
∴当-a≥5，即a≤-5时，f（x）图象在对称轴的左侧，函数是减函数；
当-a≤-5，即a≥5时，f（x）图象在对称轴的右侧，函数是增函数；
所以f （x）在区间[-5，5]上是单调函数时，a的取值范围是：{a|a≤-5，或a≥5}．
（Ⅲ）当-a≤-5，即a≥5时，函数f（x）在[-5，5]上是增函数，
∴

{	f(x)_max=f(5)=27+10a=37得a=1 f(x)_min=f(-5)=27-10a=1得a=2.6

，不满足条件；
当-5＜-a≤0，即0≤a＜5时，函数f（x）在[-5，5]上是先减后增，
∴

{	f(x)_max=f(5)=27+10a=37得a=1 f(x)_min=f(-a)=2-a²=1得a=±1

，∴a=1；
当0＜-a＜5，即-5＜a＜0时，函数f（x）在[-5，5]上也是先减后增，
∴

{	f(x)_max=f(-5)=27-10a=37得a=-1 f(x)_min=f(-a)=2-a²=1得a=±1

，∴a=-1；
当-a≥5，即a≤-5时，函数f（x）在[-5，5]上是减函数，
∴

{	f(x)_max=f(-5)=27-10a=37得a=-1 f(x)_min=f(5)=27+10a=1得a=-2.6

，不满足条件；
综上，所求实数a的值为：a=±1．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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