已知函数f（x）=4xx2+a．在探究a=1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上的最大值问题．为此，我们列表如下 y 0 0.1 0.2 0.5 0.8 1 1.2 1.5 1.8 2 4 6 … y 0 0.396 0.769 1.6 1.951 2 1.967 1.846 1.698 1.6 0.941 0.649 … 请观察表中y值随x值变化的特点，解答以下两个问题．（1）写出函数f（x）在[0，+∞）（a=1）上的单调区间；指出在各个区间上的单调性，并对其中一个区间的单调性用定义加以证明．（2）写出函数f（x）（a=1）的定义域，并求f（x）值域．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=

x²+a

．
在探究a=1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上的最大值问题．为此，我们列表如下

y	0	0.1	0.2	0.5	0.8	1	1.2	1.5	1.8	2	4	6	…
y	0	0.396	0.769	1.6	1.951	2	1.967	1.846	1.698	1.6	0.941	0.649	…

请观察表中y值随x值变化的特点，解答以下两个问题．
（1）写出函数f（x）在[0，+∞）（a=1）上的单调区间；指出在各个区间上的单调性，并对其中一个区间的单调性用定义加以证明．
（2）写出函数f（x）（a=1）的定义域，并求f（x）值域．

见解析

解：（1）结合题中所给的表格可得函数f（x）在[0，+∞）（a=1）上的单调增区为[0，1]，单调减区间为[1，+∞）．
下面证明当a=1时，函数f（x）=

x²+1

的单调减区间为[1，+∞）．
设x₂＞x₁≥1，则 f（x₂）-f（x₁）=

4x₂

x₂²+1

4x₁

x₁²+1

4x₂(x₁²+1)-4x₁(x₂²+1)

(x₂²+1)(x₁²+1)

4(x₂-x₁)(1-x₁?x₂)

(x₂²+1)(x₁²+1)

．
由题设可得，x₂-x₁＞0，1-x₁?x₂＜0，(x₂+1)²＞0，(x₁+1)²＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即 f（x₂）＜f（x₁），故函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，
即函数f（x）单调减区间为[1，+∞）．
（2）由于a=1时，函数f（x）=

x²+1

的定义域为R，当x＞0时，f（x）=

x²+1

≤

=2，
当且仅当x=1时，取得等号，故此时函数的值域为（0，2]．
当x＜0时，∵-f（x）=

(-x)+(

-x

)

≤

=2，∴f（x）≥-2，
当且仅当x=-1时，取得等号，故此时函数的值域为[-2，0），
显然，当x=0时，函数f（x）=0．
综上可得，函数f（x）的值域为[-2，2]．

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