已知f（x）是定义在R上的函数，且满足下列条件：①对任意的x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）；②当x＞0时，f（x）＜0．（1）证明f（x）在R上是减函数；（2）在整数集合内，关于x的不等式f（x2-4）-f（2x-2a）＞f（0）的解集为{1}，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知f（x）是定义在R上的函数，且满足下列条件：
①对任意的x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）；
②当x＞0时，f（x）＜0．
（1）证明f（x）在R上是减函数；
（2）在整数集合内，关于x的不等式f（x²-4）-f（2x-2a）＞f（0）的解集为{1}，求实数a的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）当时x=y=0，f（0）=f（0）+f（0），
得f（0）=0，令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x）∴f（x）在R上是奇函数，
设x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=f（x₁-x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数（6分）
（2）f（x²-4）-f（2x-2a）＞f（0）等价于
x²-4＜2x-2a即x²-2x+2a-4＜0（8分）
令g（x）=x²-2x+2a-4
根据题意，

{	g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

的实数a的取值范围为2≤a＜

∴a∈[2，

)（12分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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