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  • 已知函数f（x）=ax2-|x|+2a-1（a为实常数）．（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设h(x)=f(x)x，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax2-|x|+2a-1（a为实常数）．
      （1）若a=1，求f（x）的单调区间；
      （2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
      （3）设h(x)=
      f(x)
      x
      ，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）a=1，f（x）=x2-|x|+1=
      {
      x2-x+1，x≥0
      x2+x+1，x＜0
      =
      {
      (x-
      1
      2
      )2+
      3
      4
      ，x≥0
      (x+
      1
      2
      )2+
      3
      4
      ，x＜0
      （2分）
      ∴f（x）的单调增区间为（
      1
      2
      ，+∞），（-
      1
      2
      ，0）；
      f（x）的单调减区间为（-∞，-
      1
      2
      ），（0，
      1
      2
      ）（4分）
      （2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，f(x)=ax      2-x+2a-1=a(x-
      1
      2a
      )2+2a-
      1
      4a
      -1
      ①若0＜
      1
      2a
      ＜1，即a＞
      1
      2
      ，则f（x）在[1，2]为增函数g（a）=f（1）=3a-2
      ②若1≤
      1
      2a
      ≤2，即
      1
      4
      ≤a≤
      1
      2
      时，g(a)=f(
      1
      2a
      )=2a-
      1
      4a
      -1
      ③若
      1
      2a
      ＞2，即0＜a＜
      1
      4
      时，f（x）在[1，2]上是减函数：
      g（a）=f（2）=6a-3．
      综上可得g(a)=
      {
      6a-3 0＜a＜
      1
      4
      2a-
      1
      4a
      -1
      1
      4
      ≤a≤
      1
      2
      3a-2 a＞
      1
      2
      （10分）

      （3）h(x)=ax+
      2a-1
      x
      -1在区间[1，2]上任取x1、x2，
      则h(x      2)-h(x1)=(ax2+
      2a-1
      x2
      -1)-(ax1+
      2a-1
      x1
      -1)
      =(x      2-x1)(a-
      2a-1
      x1x2
      )=
      x2-x1
      x1x2
      [ax1x2-(2a-1)]（*）（12分）
      ∵h（x）在[1，2]上是增函数
      ∴h（x      2）-h（x1）＞0
      ∴（*）可转化为ax      1x2-（2a-1）＞0对任意x1、x2∈[1，2]
      且x      1＜x2都成立，即ax1x2＞2a-1
      ①当a=0时，上式显然成立
      ②a＞0，      x1x2＞
      2a-1
      a
      ，由1＜x1x2＜4得
      2a-1
      a
      ≤1，解得0＜a≤1
      ③a＜0，      x1x2＜
      2a-1
      a
      2a-1
      a
      ≥4，得-
      1
      2
      ≤a＜0
      所以实数a的取值范围是[-
      1
      2
      ，1]（16分）
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